Закон зміщення Віна

Наш общий бизнес-фронт BIKINIKA.com.ua

Закон зміщення Віна встановлює залежність довжини хвилі , на якій потік випромінювання енергії чорного тіла досягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Вільгельм Він вперше вивів цей закон в 1893 році , Шляхом застосування законів термодинаміки до електромагнітного випромінювання .

λ m a x = b / T, {\ displaystyle \ lambda _ {max} = b / T,} $λ m a x = b / T, {\ displaystyle \ lambda _ {max} = b / T,}$

де λ m a x {\ displaystyle \ lambda _ {max}} $де λ m a x {\ displaystyle \ lambda _ {max}} - довжина хвилі випромінювання з максимальною інтенсивністю, а T {\ displaystyle T} - температура$ - довжина хвилі випромінювання з максимальною інтенсивністю, а T {\ displaystyle T} - температура. Коефіцієнт b = c h k α {\ displaystyle b = {ch \ over k \ alpha}} (де c - швидкість світла у вакуумі , H - постійна Планка , K - постійна Больцмана , Α ≈ 4,965114 ... - постійна величина (корінь рівняння α 5 = 1 - e - α {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {5}} = 1-e ^ {- \ alpha}} )), Званий постійної Вина , в Міжнародній системі одиниць (СІ) має значення 0,002898 м · До .

Для частоти світла ν {\ displaystyle \ nu} $Для частоти світла ν {\ displaystyle \ nu} (в герцах ) Закон зміщення Віна має вигляд:$ (в герцах ) Закон зміщення Віна має вигляд:

ν max = α hk T ≈ (5, 879 × 10 10) ⋅ T, {\ displaystyle \ nu _ {\ max} = {\ alpha \ over h} kT \ approx (5,879 \ times 10 ^ {10} \ \ mathrm {)} \ cdot T,} $ν max = α hk T ≈ (5, 879 × 10 10) ⋅ T, {\ displaystyle \ nu _ {\ max} = {\ alpha \ over h} kT \ approx (5,879 \ times 10 ^ {10} \ \ mathrm {)} \ cdot T,}$

де α ≈ 2,821439 ... - постійна величина (корінь рівняння α 3 = 1 - e - α {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {3}} = 1-e ^ {- \ alpha}} ), K - постійна Больцмана , H - постійна Планка , T - температура (в кельвінах ).

Різниця численних постійних тут з відмінностями між показниками ступеня в Планка розподілі, записаному для довжини хвилі і частоти випромінювання: в одному випадку входить λ - 5 {\ displaystyle \ lambda ^ {- 5}} $Різниця численних постійних тут з відмінностями між показниками ступеня в Планка розподілі, записаному для довжини хвилі і частоти випромінювання: в одному випадку входить λ - 5 {\ displaystyle \ lambda ^ {- 5}} , В іншому - ω 3 ~ λ - 3 {\ displaystyle \ omega ^ {3} \ sim \ lambda ^ {- 3}}$ , В іншому - ω 3 ~ λ - 3 {\ displaystyle \ omega ^ {3} \ sim \ lambda ^ {- 3}} . Ця різниця, в свою чергу, виникає через нелінійність зв'язку між частотою і довжиною хвилі: ω = 2 π c λ {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda}}} , І d d ω = - λ 2 + 2 π c d d λ. {\ Displaystyle {\ frac {d} {d \ omega}} = - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {2 \ pi c}} {\ frac {d} {d \ lambda}}.}

Для виведення можна використовувати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла , Записаного для довжин хвиль :

B (λ, T) = 2 h c λ 5 1 e h c / λ k T - 1. {\ Displaystyle B (\ lambda, T) = {2hc \ over \ lambda ^ {5}} {1 \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1}.}

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продифференцировать по λ {\ displaystyle \ lambda} $Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продифференцировать по λ {\ displaystyle \ lambda} і прирівняти похідну нулю :$ і прирівняти похідну нулю :

∂ B ∂ λ = 2 hc λ 6 1 ehc / λ k T - 1 (hck T λ ehc / λ k T (ehc / λ k T - 1) - 5) = 0 {\ displaystyle {\ partial B \ over \ partial \ lambda} = {\ frac {2hc} {\ lambda ^ {6}}} {1 \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1} \ left ({hc \ over kT \ lambda} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over \ left (e ^ {hc / \ lambda kT} -1 \ right)} - 5 \ right) = 0} $∂ B ∂ λ = 2 hc λ 6 1 ehc / λ k T - 1 (hck T λ ehc / λ k T (ehc / λ k T - 1) - 5) = 0 {\ displaystyle {\ partial B \ over \ partial \ lambda} = {\ frac {2hc} {\ lambda ^ {6}}} {1 \ over e ^ {hc / \ lambda kT} -1} \ left ({hc \ over kT \ lambda} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over \ left (e ^ {hc / \ lambda kT} -1 \ right)} - 5 \ right) = 0}$

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля, коли λ → ∞ {\ displaystyle \ lambda \ rightarrow \ infty} $З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля, коли λ → ∞ {\ displaystyle \ lambda \ rightarrow \ infty} або коли e h c / λ k T → ∞ {\ displaystyle e ^ {hc / \ lambda kT} \ rightarrow \ infty} , Що виконується при λ → 0 {\ displaystyle \ lambda \ rightarrow 0}$ або коли e h c / λ k T → ∞ {\ displaystyle e ^ {hc / \ lambda kT} \ rightarrow \ infty} , Що виконується при λ → 0 {\ displaystyle \ lambda \ rightarrow 0} . Однак, обидва ці випадки дають мінімум функції Планка B (λ) {\ displaystyle B (\ lambda)} , Яка для зазначених довжин хвиль досягає свого нуля (див. Малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком, коли

hck T λ ehc / λ k T (ehc / λ k T - 1) - 5 = 0 {\ displaystyle {hc \ over kT \ lambda} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over \ left (e ^ { hc / \ lambda kT} -1 \ right)} - 5 = 0} $hck T λ ehc / λ k T (ehc / λ k T - 1) - 5 = 0 {\ displaystyle {hc \ over kT \ lambda} {e ^ {hc / \ lambda kT} \ over \ left (e ^ { hc / \ lambda kT} -1 \ right)} - 5 = 0}$

Використовуючи заміну змінних x = h c k T λ {\ displaystyle x = {hc \ over kT \ lambda}} $Використовуючи заміну змінних x = h c k T λ {\ displaystyle x = {hc \ over kT \ lambda}} , Дане рівняння можна перетворити до вигляду$ , Дане рівняння можна перетворити до вигляду

x e x e x - 1 - 5 = 0. {\ displaystyle {xe ^ {x} \ over e ^ {x} -1} -5 = 0.}

Чисельне рішення цього рівняння дає: [1]

x = 4.965114231744276 ... {\ displaystyle x = 4.965114231744276 \ ldots} x = 4

Таким чином, використовуючи заміну змінних і значення постійних планка , Больцмана і швидкості світла , Можна визначити довжину хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла досягає свого максимуму, як

λ max = hcx 1 k T = 2.89776829 ... × 10 - 3 T, {\ displaystyle \ lambda _ {\ max} = {hc \ over x} {1 \ over kT} = {2.89776829 \ ldots \ times 10 ^ {- 3} \ over T},}

де температура дана в кельвінах , А λ max {\ displaystyle \ lambda _ {\ max}} $де температура дана в кельвінах , А λ max {\ displaystyle \ lambda _ {\ max}} - в метрах$ - в метрах .

Відповідно до закону зміщення Віна чорне тіло з температурою людського тіла (~ 310 K ) Має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі близько 10 мкм , що відповідає інфрачервоному діапазону спектра.

реліктове випромінювання має ефективну температуру 2,7 K і досягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм . Відповідно, ця довжина хвилі належить вже радіодіапазоні .

BH Soffer and DK Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision ," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
MA Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.